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Sistema de coordenadas Cartesianas

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cartesiano significa relacionado con el matemático y filósofo francés René Descartes (en latín: Cartesius), quienes, entre otras cosas, trabajaron para fusionar álgebra y geometría euclidiana. Este trabajo fue influyente en el desarrollo de la geometría analítica, el cálculo y la cartografía.

La idea de este sistema se desarrolló en 1637 en dos escritos de Descartes. En la segunda parte de su Discurso sobre el método, Descartes presenta la nueva idea de especificar la posición de un punto u objeto en una superficie, utilizando dos ejes de intersección como guías de medición. En La Géométrie, él explora más a fondo los conceptos mencionados anteriormente.

Sistema de coordenadas bidimensional

Fig. 3 - Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas. Las flechas en los ejes indican que se extienden para siempre en sus respectivas direcciones (es decir, infinitamente).

Un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones se define comúnmente por dos ejes, en ángulo recto entre sí, formando un plano (un xy-avión). El eje horizontal normalmente está etiquetado X, y el eje vertical normalmente se etiqueta y. En un sistema de coordenadas tridimensional, otro eje, normalmente etiquetado z, se agrega, proporcionando una tercera dimensión de medición de espacio. Los ejes se definen comúnmente como mutuamente ortogonales entre sí (cada uno en ángulo recto con respecto al otro). (Los primeros sistemas permitían ejes "oblicuos", es decir, ejes que no se encontraban en ángulos rectos, y tales sistemas se usan ocasionalmente hoy, aunque principalmente como ejercicios teóricos). Todos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas tomadas juntas forman un so- llamado plano cartesiano. Las ecuaciones que usan el sistema de coordenadas cartesianas se llaman Ecuaciones cartesianas.

El punto de intersección, donde se encuentran los ejes, se llama origen normalmente etiquetado O. los X y y los ejes definen un plano que se conoce como xy avión. Dado cada eje, elija una unidad de longitud y marque cada unidad a lo largo del eje, formando una cuadrícula. Para especificar un punto particular en un sistema de coordenadas bidimensional, indique el X unidad primero (abscisa), Seguido por el y unidad (ordenada) en la forma (X,y), un par ordenado.

La elección de las letras proviene de una convención, para usar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. En contraste, la primera parte del alfabeto se usó para designar valores conocidos.

Un ejemplo de un punto. PAGS en el sistema se indica en la Figura 3, utilizando la coordenada (3,5).

La intersección de los dos ejes crea cuatro regiones, llamadas cuadrantes, indicado por los números romanos I (+, +), II (-, +), III (-, -) y IV (+, -). Convencionalmente, los cuadrantes se etiquetan en sentido antihorario a partir del cuadrante superior derecho ("noreste"). En el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivas, en el segundo cuadrante X-coordenadas son negativas y y-coordenadas positivas, en el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativas y en el cuarto cuadrante, X-coordenadas son positivas y y-coordenadas negativas (ver tabla a continuación).

Sistema de coordenadas tridimensional

Fig. 4 - Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales con apuntamiento del eje y lejos del observadorFig. 5 - Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje x apuntando hacia el observador.

El sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales proporciona las tres dimensiones físicas de espacio-longitud, ancho y alto. Las figuras 4 y 5 muestran dos formas comunes de representarlo.

Los tres ejes cartesianos que definen el sistema son perpendiculares entre sí. Las coordenadas relevantes son de la forma (x, y, z). Como ejemplo, la figura 4 muestra dos puntos trazados en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales: PAGS(3,0,5) y Q(−5, −5,7). Los ejes se representan en una orientación de "coordenadas mundiales" con el z-axis apuntando hacia arriba.

los X-, y- y z-coordenadas de un punto también se pueden tomar como las distancias desde el yz-avión, xz-avión, y xy-plano respectivamente. La figura 5 muestra las distancias del punto P desde los planos.

los xy-, yz- y xzLos planos dividen el espacio tridimensional en ocho subdivisiones conocidas como octantes, similares a los cuadrantes del espacio 2D. Si bien se han establecido convenciones para el etiquetado de los cuatro cuadrantes de la X-y plano, solo se etiqueta el primer octante del espacio tridimensional. Contiene todos los puntos cuyos X, yy z Las coordenadas son positivas.

los z-coordinado también se llama aplicar.

Orientación y entrega

ver también: regla de la mano derecha

En dos dimensiones

La regla de la mano derecha.

Arreglando o eligiendo el X-axis determina el y-eje hasta dirección. A saber, el y-eje es necesariamente el perpendicular al X-eje a través del punto marcado 0 en el X-eje. Pero hay una opción de cuál de las dos medias líneas en la perpendicular para designar como positiva y cuál como negativa. Cada una de estas dos opciones determina una orientación diferente (también llamada entrega) del plano cartesiano.

La forma habitual de orientar los ejes, con el positivo X-eje que apunta a la derecha y lo positivo y-axis apuntando hacia arriba (y el X-eje que es el "primero" y el y-eje del "segundo" eje) se considera el positivo o estándar orientación, también llamada diestro orientación.

Un mnemónico de uso común para definir la orientación positiva es el regla de la mano derecha. Colocando una mano derecha algo cerrada en el avión con el pulgar hacia arriba, los dedos apuntan desde X-eje a la y-eje, en un sistema de coordenadas orientado positivamente.

La otra forma de orientar los ejes es seguir el regla de la mano izquierda, colocando la mano izquierda en el avión con el pulgar hacia arriba.

Independientemente de la regla utilizada para orientar los ejes, la rotación del sistema de coordenadas preservará la orientación. Cambiar el papel de X y y invertirá la orientación.

En tres dimensiones

Fig. 7: la orientación hacia la izquierda se muestra a la izquierda y la derecha a la derecha.Fig. 8 - El sistema de coordenadas cartesianas diestras que indica los planos de coordenadas.

Una vez el X- y y-los ejes se especifican, determinan la línea a lo largo de la cual z-eje debe mentir, pero hay dos direcciones posibles en esta línea. Los dos posibles sistemas de coordenadas que resultan se denominan "diestros" y "zurdos". La orientación estándar, donde el xy-plano es horizontal y el z-axis apunta hacia arriba (y el X- y el y-eje forman un sistema de coordenadas bidimensional orientado positivamente en el xy-plano si se observa desde encima el xy-plano) se llama diestro o positivo.

El nombre deriva de la regla de la mano derecha. Si el dedo índice de la mano derecha apunta hacia adelante, el dedo medio se dobla hacia adentro en ángulo recto y el pulgar se coloca en ángulo recto hacia ambos, los tres dedos indican las direcciones relativas del X-, y- y z-axes en un diestro sistema. El pulgar indica el X-eje, el dedo índice el y-eje y el dedo medio del z-eje. Por el contrario, si se hace lo mismo con la mano izquierda, se obtiene un sistema zurdo.

Las diferentes disciplinas usan diferentes variaciones de los sistemas de coordenadas. Por ejemplo, los matemáticos suelen utilizar un sistema de coordenadas diestro con el y-axis apuntando hacia arriba, mientras que los ingenieros suelen utilizar un sistema de coordenadas zurdo con el z-axis apuntando hacia arriba. Esto tiene el potencial de generar confusión cuando los ingenieros y matemáticos trabajan en el mismo proyecto.

La Figura 7 es un intento de representar un sistema de coordenadas para diestros y zurdos. Debido a que un objeto tridimensional se representa en la pantalla bidimensional, se produce distorsión y ambigüedad. El eje que apunta hacia abajo (y hacia la derecha) también debe apuntar hacia el observador, mientras que el eje "medio" está destinado a señalar lejos del observador El círculo rojo es paralela a la horizontal xy-plano e indica rotación desde el X-eje a la y-eje (en ambos casos). De ahí pasa la flecha roja en frente de el z-eje.

La Figura 8 es otro intento de representar un sistema de coordenadas diestro. Nuevamente, existe una ambigüedad causada por la proyección del sistema de coordenadas tridimensional en el plano. Muchos observadores ven la Figura 8 como "voltearse hacia adentro y hacia afuera" entre un cubo convexo y una "esquina" cóncava. Esto corresponde a las dos orientaciones posibles del sistema de coordenadas. Ver la figura como convexa da un sistema de coordenadas zurdo. Por lo tanto, la forma "correcta" de ver la Figura 8 es imaginar el X-eje como señalar hacia el observador y por lo tanto viendo una esquina cóncava.

En física

La discusión anterior se aplica a los sistemas de coordenadas cartesianas en matemáticas, donde es común no usar ninguna unidad de medida. En física, es importante tener en cuenta que una dimensión es simplemente una medida de algo, y que, para cada clase de características a medir, se puede agregar otra dimensión. El apego a la visualización de las dimensiones impide comprender las diferentes dimensiones que se pueden medir (tiempo, masa, color, costo, etc.). Los objetos multidimensionales se pueden calcular y manipular algebraicamente.

Representando un vector con notación cartesiana

Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesianas también puede estar representado por un vector, que puede considerarse como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al punto. Si las coordenadas representan posiciones espaciales (desplazamientos) es común representar el vector desde el origen hasta el punto de interés como . Usando coordenadas cartesianas, el vector desde el origen hasta el punto Se puede escribir como1:

dónde , y son vectores unitarios que apuntan en la misma dirección que el , y ejes, respectivamente.

Esta notación generalmente se conoce como Notación cartesiana. Los vectores unitarios , y son llamados los versores del sistema de coordenadas, y representan un ejemplo de base estándar.

Notas adicionales

En geometría de computadora, el sistema de coordenadas cartesianas es la base para la manipulación algebraica de formas geométricas. Se han desarrollado muchos otros sistemas de coordenadas desde Descartes. Un conjunto común de sistemas usa coordenadas polares; Los astrónomos a menudo usan coordenadas esféricas, un tipo de sistema de coordenadas polares.

Ver también

  • Curva
  • Geometría
  • Grafico
  • Línea (matemáticas)
  • Matemáticas
  • Número
  • Plano (matemáticas)
  • Punto (geometría)
  • René Descartes

Notas

  1. ^ David J. Griffith (1999). Introducción a la electromagnetica. Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

Referencias

  • Descartes, René. 2001 Discurso sobre método, óptica, geometría y meteorología. Trans. Paul J. Olscamp. Indianápolis, IN: Pub Hackett. ISBN 0872205673.
  • Gelʹfand, I. M., E. G. Glagoleva y A. A. Kirillov. 1990 El método de coordenadas. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.
  • Kline, Morris. 1985. Matemáticas para el no matemático. Nueva York: Dover. ISBN 0817635335.

Enlaces externos

Todos los enlaces recuperados el 16 de enero de 2017.

  • Sistema de coordenadas Cartesianas.
  • Coordenadas cartesianas imprimibles.
  • Coordenadas cartesianas. PlanetMath.

Ver el vídeo: PLANO CARTESIANO Super facil (Julio 2020).

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